Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{y^{2} - 1^{2}}$

Этап 1.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} - 1) \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 1.2.2

Умножим $y^{2} - 1$ на $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 1.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 1.2.3.2

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 1.2.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1) (x^{2} + 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (x^{2} + 1)}{y - 1}$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2} + 1$ на $1$ .

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y^{2} - 1) d y = (x^{2} + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{2} d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} - y + C_{2} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} - y = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$