Математический анализ Примеры

$y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ на $y \ln (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $y \ln (x) \frac{d x}{d y} = {(\frac{y - 1}{x})}^{2}$ на $y \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (x) \frac{d x}{d y}}{y \ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) \frac{d x}{d y}}{\ln (x)} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d x}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(\frac{y - 1}{x})}^{2}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим правило умножения к $\frac{y - 1}{x}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}}}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y \ln (x)}$

Этап 1.1.3.3

Объединим.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} (y \ln (x))}$

Этап 1.1.3.4

Умножим ${(y - 1)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x^{2} y \ln (x)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $x^{2} \ln (x)$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) (\frac{{(y - 1)}^{2}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2} \ln (x)})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y (x^{2} \ln (x))}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x^{2} \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x^{2} \ln (x)$ из $y (x^{2} \ln (x))$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) (y)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = x^{2} \ln (x) \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} \ln (x) y}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2} \cdot 1}{y}$

Этап 1.4.3

Умножим ${(y - 1)}^{2}$ на $1$ .

$x^{2} \ln (x) \frac{d x}{d y} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$x^{2} \ln (x) d x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x^{2} \ln (x) d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{1} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.4.2.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int x^{2} d x = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.2.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.3

Объединим $x^{3}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{{(y - 1)}^{2}}{y} d y$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${(y - 1)}^{2}$ в виде $(y - 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{(y - 1) (y - 1)}{y} d y$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y (y - 1) - 1 (y - 1)}{y} d y$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 (y - 1)}{y} d y$

Этап 2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y + y \cdot - 1 - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.5

Изменим порядок $y$ и $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y \cdot y - 1 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.7

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1} y^{1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{1 + 1} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y - 1 \cdot - 1}{y} d y$

Этап 2.3.9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 1 y - 1 y + 1}{y} d y$

Этап 2.3.10

Вычтем $1 y$ из $- 1 y$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int \frac{y^{2} - 2 y + 1}{y} d y$

Этап 2.3.11

Разделим $y^{2} - 2 y + 1$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$2 y$

$1$

Этап 2.3.11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$y$
	$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$

Этап 2.3.11.3

Умножим новое частное на делитель.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$0$

Этап 2.3.11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y^{2} + 0$ .

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$

Этап 2.3.11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$

Этап 2.3.11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$y$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Этап 2.3.11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$

Этап 2.3.11.8

Умножим новое частное на делитель.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					-	$2 y$	+	$0$

Этап 2.3.11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 y + 0$ .

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$

Этап 2.3.11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$y$	-	$2$
$y$	+	$0$		$y^{2}$	-	$2 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$0$
					-	$2 y$	+	$1$
					+	$2 y$	-	$0$
							+	$1$

Этап 2.3.11.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y - 2 + \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3.12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \int y d y + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3.13

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} + \int - 2 d y + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3.14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \int \frac{1}{y} d y$

Этап 2.3.15

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} - 2 y + C_{3} + \ln (| y |) + C_{4}$

Этап 2.3.16

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} x^{3} \ln (x) - \frac{1}{9} x^{3} = \frac{1}{2} y^{2} - 2 y + \ln (| y |) + C$