Математический анализ Примеры

$(y + x) d y = (x - y) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(x - y) d x$ из обеих частей уравнения.

$(y + x) d y - (x - y) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- (x - y) d x + (y + x) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - (x - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (x - y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.7.2

Умножим $\frac{d}{d y} [y]$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + x]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $y + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 1$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Этап 4.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 5

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Этап 6

Проинтегрируем $M (x, y) = - (x - y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Этап 6.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Этап 6.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Этап 6.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Этап 6.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Этап 6.6

Упростим.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Этап 7

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Этап 8

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y + x$

Этап 9

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = y + x$

Этап 9.2.2

По правилу суммы производная $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} - y x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.3

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.4

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- y x$ по $y$ равна $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.7

Вычтем $x$ из $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.3.9

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = y + x$

Этап 9.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = y + x$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = y + x$

Этап 10

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y + x - x$

Этап 10.1.2

Объединим противоположные члены в $y + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Этап 10.1.2.2

Добавим $y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Этап 11

Найдем первообразную $y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Этап 11.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Этап 11.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 12

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.3

Умножим $- (- y x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$