Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} + 5 \csc^{2} (x) + x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 5 \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 \int \csc^{2} (x) d x + \int x d x$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \int x d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2}) + 5 (- \cot (x) + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) - 5 \cot (x) + C$