Математический анализ Примеры

$y d x = (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $(e^{y} + 2 x y - 2 x) d y$ из обеих частей уравнения.

$y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (e^{y} + 2 x y - 2 x)]$

Этап 3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [e^{y} + 2 x y - 2 x]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $e^{y} + 2 x y - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.4

Поскольку $e^{y}$ является константой относительно $x$ , производная $e^{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.6

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2 \cdot 1)$

Этап 3.11

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y - 2)$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - - 2$

Этап 3.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - - 2$

Этап 3.12.2.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y + 2$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 y + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y + 2$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 2 y + 2$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 2 y + 2$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{M}$

Этап 5.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{- 2 y + 2 - 1}{y}$

Этап 5.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{- 2 y + 1}{y}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$\frac{- (2 y) + 1}{y}$

Этап 5.3.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y) - 1 (- 1)}{y}$

Этап 5.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (2 y - 1)}{y}$

Этап 5.3.6

Перепишем $- (2 y - 1)$ в виде $- 1 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1 (2 y - 1)}{y}$

Этап 5.3.7

Подставим $y$ вместо $M$ .

$- \frac{2 y - 1}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2 y - 1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 y - 1}{y} d y}$

Этап 6.2

Разделим $2 y - 1$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$0$

$2 y$

$1$

Этап 6.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$2$
	$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$

Этап 6.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			+	$2 y$	+	$0$

Этап 6.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 y + 0$ .

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$

Этап 6.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2$
$y$	+	$0$		$2 y$	-	$1$
			-	$2 y$	-	$0$
					-	$1$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$μ (x, y) = e^{- \int 2 - \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$μ (x, y) = e^{- (\int 2 d y + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C + \int - \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 6.6

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (2 y + C - (\ln (| y |) + C))}$

Этап 6.7

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + \ln (| y |)} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $y d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $y$ на $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $- (e^{y} + 2 x y - 2 x)$ на $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x - (e^{y} + 2 x y - 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - (2 x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) - (- 2 x)) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Этап 7.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} - 2 (x y) + 2 x) e^{- 2 y + \ln (y)} d y = 0$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{y} e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Этап 7.6

Умножим $e^{y}$ на $e^{- 2 y + \ln (y)}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Перенесем $e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- (e^{- 2 y + \ln (y)} e^{y}) - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Этап 7.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- 2 y + \ln (y) + y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Этап 7.6.3

Добавим $- 2 y$ и $y$ .

$y e^{- 2 y + \ln (y)} d x + (- e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}) d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- 2 y + \ln (y)} d x$

Этап 9

Проинтегрируем $M (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y e^{- 2 y + \ln (y)} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- 2 y + \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- 2 y + \ln (y)}] + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = - 2 y + \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 y + \ln (y)$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [- 2 y + \ln (y)]) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.4

По правилу суммы производная $- 2 y + \ln (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.7

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 \cdot 1 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.9

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.3.10

Умножим $e^{- 2 y + \ln (y)}$ на $1$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y})) + e^{- 2 y + \ln (y)}) + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (y (e^{- 2 y + \ln (y)} (- 2 + \frac{1}{y}))) + x e^{- 2 y + \ln (y)} + \frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y (- 2 + \frac{1}{y}) + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \cdot - 2 + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x y \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $e^{- 2 y + \ln (y)} x y$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + y (e^{- 2 y + \ln (y)} x) \frac{1}{y} + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} - 2 \cdot (e^{- 2 y + \ln (y)} x y) + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.3.4

Избавимся от скобок.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + e^{- 2 y + \ln (y)} x + e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.4

Добавим $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ и $e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 12.5.5

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x y + 2 e^{- 2 y + \ln (y)} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - e^{- y + \ln (y)} - 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} + 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Добавим $- 2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ и $2 x y e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} + 0 - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Этап 13.1.2.2

Добавим $2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)}$ и $0$ .

$2 x e^{- 2 y + \ln (y)} + e^{- y + \ln (y)} - 2 x e^{- 2 y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Этап 13.1.2.3

Вычтем $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ из $2 x e^{- 2 y + \ln (y)}$ .

$0 + e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Этап 13.1.2.4

Добавим $0$ и $e^{- y + \ln (y)}$ .

$e^{- y + \ln (y)} = - \frac{d g}{d y}$

Этап 13.1.3

Поскольку $\frac{d g}{d y}$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$

Этап 13.1.4

Разделим каждый член $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Разделим каждый член $- \frac{d g}{d y} = e^{- y + \ln (y)}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Этап 13.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Этап 13.1.4.2.2

Разделим $\frac{d g}{d y}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$

Этап 13.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{e^{- y + \ln (y)}}{- 1}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$

Этап 13.1.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot e^{- y + \ln (y)}$ в виде $- e^{- y + \ln (y)}$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$

Этап 14

Найдем первообразную $- e^{- y + \ln (y)}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - e^{- y + \ln (y)}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{- y + \ln (y)} d y$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int e^{- y + \ln (y)} d y$

Этап 14.4

Перепишем $\int e^{- y + \ln (y)} d y$ в виде $\int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} e^{\ln (y)} d y$

Этап 14.5

Перепишем $e^{\ln (y)}$ в виде $y$ .

$g (y) = - \int e^{- y} y d y$

Этап 14.6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Этап 14.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Этап 14.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Этап 14.8.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Этап 14.9

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.9.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 14.9.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 14.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 14.9.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 14.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 14.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Этап 14.11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Этап 14.12

Перепишем $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ в виде $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Этап 14.13

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Этап 14.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 14.14.2

Умножим $- (- y e^{- y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.14.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Этап 14.14.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Этап 14.14.3

Умножим $- - e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.14.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Этап 14.14.3.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Этап 16

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = y e^{- 2 y + \ln (y)} x + y e^{- y} + e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- 2 y + \ln (y)} + y e^{- y} + e^{- y} + C$