Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = x^{2} - 1$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(x + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = x^{2} - 1$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(x + 1) y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$(x + 1) y = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} + C - x + C$

Этап 5.4

Упростим.

$(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(x + 1) y = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{\frac{x^{3}}{3}}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.1.3

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{x + 1}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.2

Чтобы записать $- \frac{x}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{x}{x + 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x^{3}}{3 (x + 1)} - \frac{x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x^{3} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} - x \cdot 3}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \cdot 3$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 1 \cdot 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.6

Чтобы записать $\frac{C}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C}{x + 1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.7.1

Умножим $\frac{C}{x + 1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{(x + 1) \cdot 3}$

Этап 6.3.7.2

Изменим порядок множителей в $(x + 1) \cdot 3$ .

$y = \frac{x (x^{2} - 3)}{3 (x + 1)} + \frac{C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (x^{2} - 3) + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x^{1} x^{2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{x^{1 + 2} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{x^{3} + x \cdot - 3 + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9.3

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 \cdot x + C \cdot 3}{3 (x + 1)}$

Этап 6.3.9.4

Перенесем $3$ влево от $C$ .

$y = \frac{x^{3} - 3 x + 3 C}{3 (x + 1)}$