Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x}$ , $y (0) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = e^{3 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 3 x$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot 0} + K = 4$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot e^{0} + K = 4$

Этап 4.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{1}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $1$ из $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{11}{3}$ вместо $K$ в $y = \frac{1}{3} e^{3 x} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{11}{3}$ вместо $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{11}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{11}{3}$