Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 - 2 y} \cos (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1 - 2 y}{y}$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} (\frac{y}{1 - 2 y} \cos (x))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{y}{1 - 2 y}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $1 - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 y}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 - 2 y}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cos (x)$ .

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 2 y}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1 - 2 y}{y} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- 2 y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 2 d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) - 2 y + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7

Изменим порядок членов.

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$- 2 y + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 2 y + \ln (| y |) = \sin (x) + C$