Математический анализ Примеры

$7 y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$7 y d y = 6 x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 7 y d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$7 \int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $7 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$7 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ в виде $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{7}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{7}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{2}{7}$ .

$\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2}) = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{2}{7} (\frac{7}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{2}{7} \cdot \frac{7 y^{2}}{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (7 y^{2})}{7 \cdot 2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 y^{2}}{7} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{2}{7} (2 x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = \frac{2}{7} (2 x^{3}) + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $\frac{2}{7} (2 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{2}{7}$ .

$y^{2} = \frac{2 \cdot 2}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{4}{7} x^{3} + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.2.3

Объединим $\frac{4}{7}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2}{7} K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим $\frac{2}{7}$ и $K$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{7} + \frac{2 K}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K}{7}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K}{7}}$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K)}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$

Этап 3.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 3.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 3.4.5.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 3.4.5.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 3.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 3.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 3.4.5.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)} \sqrt{7}}{7}$

Этап 3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K) \cdot 7}}{7}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $7$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$

$y = - \frac{\sqrt{14 (2 x^{3} + K)}}{7}$