Математический анализ Примеры

$(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 3 y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y + 3 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y^{2}$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 (2 y)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 6 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (2 x y + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (2 x y + x^{2})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (2 x y + x^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x y + x^{2}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x y + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Поскольку $2 y$ является константой относительно $x$ , производная $2 x y$ по $x$ равна $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y + 2 x)$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y) - (2 x)$

Этап 2.8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - (2 x)$

Этап 2.8.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y - 2 x$

Этап 2.8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 x + 6 y = - 2 x - 2 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2 x + 6 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- 2 x - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- (2 x y + x^{2})$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- (2 x y + x^{2})$ вместо $N$ .

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x - 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 6 y - (- 2 x) - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x - (- 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 6 y + 2 x + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 x + 6 y + 2 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $6 y$ и $2 y$ .

$\frac{4 x + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{4 (x) + 8 y}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8 y$ .

$\frac{4 (x) + 4 (2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (2 y)$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (2 x y + x^{2})}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $2 x y + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x^{2})}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y) + x \cdot x)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (2 y) + x \cdot x$ .

$\frac{4 (x + 2 y)}{- (x (2 y + x))}$

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (2 y + x)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x + 2 y$ и $2 y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Этап 4.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x + 2 y)}{- x (x + 2 y)}$

Этап 4.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{- x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $- 4$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{- 4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x y + 3 y^{2}) d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x y + 3 y^{2}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$(2 x y + 3 y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x y + 3 y^{2}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{2 x y + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $y$ из $2 x y + 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{y (2 x) + 3 y^{2}}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y^{2}$ .

$\frac{y (2 x) + y (3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (2 x) + y (3 y)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- (2 x y + x^{2})$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - (2 x y + x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- (2 x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + (- 2 (x y) - x^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $- 2 x y - x^{2}$ на $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 x y - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) - x^{2}}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.8.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y) + x (- x)}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 2 y) + x (- x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x^{4}} d y = 0$

Этап 6.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 6.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{x (- 2 y - x)}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Этап 6.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 2 y - x}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 y$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - x}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y) - (x)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 y) - (x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.13

Перепишем $- (2 y + x)$ в виде $- 1 (2 y + x)$ .

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x + \frac{- 1 (2 y + x)}{x^{3}} d y = 0$

Этап 6.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}} d x - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - \frac{2 y + x}{x^{3}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \int \frac{2 y + x}{x^{3}} d y$

Этап 8.2

Поскольку $\frac{1}{x^{3}}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{x^{3}}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - (\frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y)$

Этап 8.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} \int 2 y + x d y$

Этап 8.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (\int 2 y d y + \int x d y)$

Этап 8.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 \int y d y + \int x d y)$

Этап 8.6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x d y)$

Этап 8.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x y + C)$

Этап 8.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + x y + C)$

Этап 8.9

Упростим.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ и $g (x) = y^{2} + x y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [y^{2} + x y] + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.3

По правилу суммы производная $y^{2} + x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.4

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x y]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.5

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \frac{d}{d x} [x]) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.7

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.8.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y \cdot 1) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.10

Умножим $y$ на $1$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} (0 + y) + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.11

Добавим $0$ и $y$ .

$- (\frac{1}{x^{3}} y + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.12

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $y$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.13

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.13.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.13.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- x^{- 6} (3 x^{2}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.14

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 6} x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.15

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.15.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{2} x^{- 6}))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{2 - 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.15.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.16

Чтобы записать $(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- (\frac{y}{x^{3}} + \frac{(y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 4}) x^{3}}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.18

Умножим $x^{- 4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.18.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 (x^{3} x^{- 4}))}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{3 - 4})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.3.18.3

Вычтем $4$ из $3$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 x^{- 1})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y + (y^{2} + x y) (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{y + y^{2} (- 3 \frac{1}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y + y^{2} \frac{- 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y + y^{2} (- \frac{3}{x}) + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{y^{2} \cdot 3}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.4

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{y - \frac{3 \cdot y^{2}}{x} + x y (- 3 \frac{1}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.5

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y \frac{- 3}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + x y (- \frac{3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.7

Объединим $x$ и $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} + y (- \frac{x \cdot 3}{x})}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.8

Объединим $y$ и $\frac{x \cdot 3}{x}$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (x \cdot 3)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.9

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{y (3 \cdot x)}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.10

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 \cdot y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.11.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{3 y x}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.11.2

Разделим $3 y$ на $1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - (3 y)}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.12

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{y - \frac{3 y^{2}}{x} - 3 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.13

Вычтем $3 y$ из $y$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.14

Чтобы записать $\frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} + \frac{\frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.3.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x}) + \frac{d g}{d x} x^{3}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y - \frac{3 y^{2}}{x})}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} - (- 2 y) - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y - - \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.3

Умножим $- - \frac{3 y^{2}}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + 1 \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.3.2

Умножим $\frac{3 y^{2}}{x}$ на $1$ .

$\frac{x^{3} \frac{d g}{d x} + 2 y + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.4

Чтобы записать $x^{3} \frac{d g}{d x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x}{x} + \frac{3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 y + \frac{x^{3} \frac{d g}{d x} x + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.6

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 y + \frac{x \cdot x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.6.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.5.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{1} x^{3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y + \frac{x^{1 + 3} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.6.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 y + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.7

Чтобы записать $2 y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 y x}{x} + \frac{x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.7

Умножим $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.7.1

Умножим $\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x \cdot x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.7.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.7.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.7.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1} x^{3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.7.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{1 + 3}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 11.5.7.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2}}{x^{4}} = \frac{y (2 x + 3 y)}{x^{4}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Этап 12.1.2

Упростим $y (2 x + 3 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Перепишем.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 0 + 0 + y (2 x + 3 y)$

Этап 12.1.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x + 3 y)$

Этап 12.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = y (2 x) + y (3 y)$

Этап 12.1.2.4

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + y (3 y)$

Этап 12.1.2.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y \cdot y$

Этап 12.1.2.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.5.1

Перенесем $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 (y \cdot y)$

Этап 12.1.2.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$2 y x + x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2}$

Этап 12.1.3

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $2 y x$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} \frac{d g}{d x} + 3 y^{2} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x$

Этап 12.1.3.2

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$

Этап 12.1.3.3

Объединим противоположные члены в $2 y x + 3 y^{2} - 2 y x - 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Вычтем $2 y x$ из $2 y x$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} + 0 - 3 y^{2}$

Этап 12.1.3.3.2

Добавим $3 y^{2}$ и $0$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 3 y^{2} - 3 y^{2}$

Этап 12.1.3.3.3

Вычтем $3 y^{2}$ из $3 y^{2}$ .

$x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$

Этап 12.1.4

Разделим каждый член $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ на $x^{4}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Разделим каждый член $x^{4} \frac{d g}{d x} = 0$ на $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Этап 12.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} \frac{d g}{d x}}{x^{4}} = \frac{0}{x^{4}}$

Этап 12.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d g}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{4}}$

Этап 12.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.3.1

Разделим $0$ на $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (x) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} (y^{2} + x y) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = - \frac{1}{x^{3}} y^{2} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Этап 15.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (x y) + C$

Этап 15.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{3}}$ в числитель.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{3}} (x y) + C$

Этап 15.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Этап 15.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x (y)) + C$

Этап 15.3.4

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x \cdot x^{2}} (x y) + C$

Этап 15.3.5

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{2}} y + C$

Этап 15.4

Объединим $\frac{- 1}{x^{2}}$ и $y$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} + \frac{- y}{x^{2}} + C$

Этап 15.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{x^{3}} - \frac{y}{x^{2}} + C$