Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Этап 1.3.2

Объединим.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Этап 1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Этап 1.3.6

Разделим дроби.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Этап 1.3.7

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Этап 1.3.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Этап 1.3.9

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Этап 1.3.10

Умножим $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.10.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 1.3.10.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Этап 1.3.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Этап 1.3.10.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.4.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.5

Пусть $u_{1} = - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u_{1} = - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.7

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.8

Перепишем $y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})$ в виде $- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u_{1}} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.9

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.2.10

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = \sin (θ)$ . Тогда $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , следовательно $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = \sin (θ)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 2.3.1.1.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (θ)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$