Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} - y = - y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6.1.1.2

Упростим $- {(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 1 \cdot 2}$

Этап 6.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - v^{- 2}$

Этап 6.1.1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{1}{v} = - \frac{1}{v^{2}}$

Этап 6.1.1.3

Добавим $\frac{1}{v}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$

Этап 6.1.1.4

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{1}{v}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{- \frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{1} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3.1.2

Разделим $\frac{1}{v^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{1}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{1}{v}$

Этап 6.1.1.4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \frac{1}{v}$ в виде $- \frac{1}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}$

Этап 6.1.1.5

Умножим обе части на $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = (\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1

Упростим $(\frac{1}{v^{2}} - \frac{1}{v}) v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.2

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{1}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = 1 - \frac{1}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.3

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.3.2

Вынесем множитель $v$ из $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Этап 6.1.1.6.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{- 1}{v} (v \cdot v)$

Этап 6.1.1.6.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = 1 - 1 v$

Этап 6.1.1.6.2.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.4.1

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 - v$

Этап 6.1.1.6.2.1.4.2

Изменим порядок $1$ и $- v$ .

$\frac{d v}{d x} = - v + 1$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{- v + 1}$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- v + 1} (- v + 1)$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Умножим $\frac{1}{- v + 1}$ на $- v + 1$ .

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $- v + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- v + 1}{- v + 1}$

Этап 6.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- v + 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- v + 1} d v = 1 d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- v + 1} d v = \int d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = - v + 1$ . Тогда $d u = - d v$ , следовательно $- d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = - v + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 6.2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 6.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 6.2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 6.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- v + 1$ .

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = \int d x$

Этап 6.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \ln (| - v + 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - v + 1 |) = x + C$

Этап 6.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| - v + 1 |) = x + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - v + 1 |)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - v + 1 |)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2.2

Разделим $\ln (| - v + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| - v + 1 |) = \frac{x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - 1 \cdot x + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - 1 \cdot C$

Этап 6.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - v + 1 |) = - x - C$

Этап 6.3.2

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - v + 1 |)} = e^{- x - C}$

Этап 6.3.3

Перепишем $\ln (| - v + 1 |) = - x - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- x - C} = | - v + 1 |$

Этап 6.3.4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| - v + 1 | = e^{- x - C}$ .

$| - v + 1 | = e^{- x - C}$

Этап 6.3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- v + 1 = \pm e^{- x - C}$

Этап 6.3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- v = \pm e^{- x - C} - 1$

Этап 6.3.4.4

Разделим каждый член $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.1

Разделим каждый член $- v = \pm e^{- x - C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.4.4.2.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- x - C}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- x - C})$ в виде $- (\pm e^{- x - C})$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 6.3.4.4.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- x - C}) + 1$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$v = - (\pm e^{- x + C}) + 1$

Этап 6.4.2

Перепишем $e^{- x + C}$ в виде $e^{- x} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- x} e^{C}) + 1$

Этап 6.4.3

Изменим порядок $e^{- x}$ и $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- x}) + 1$

Этап 6.4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = - (C e^{- x}) + 1$

Этап 7

Подставим $y^{- 1}$ вместо $v$ .

$y^{- 1} = - (C e^{- x}) + 1$