Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$ , $y (1) = 8$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.6

Умножим $y$ на $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int 4 x d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$x y = 4 \int x d x$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Этап 5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Этап 5.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x y = 2 x^{2} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x y = 2 x^{2} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 6.3.1.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$

Этап 7

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $8$ вместо $y$ в $y = 2 x + \frac{C}{x}$ .

$8 = 2 \cdot 1 + \frac{C}{1}$

Этап 8

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$ .

$2 \cdot 1 + \frac{C}{1} = 8$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 8$

Этап 8.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$2 + C = 8$

Этап 8.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$C = 8 - 2$

Этап 8.3.2

Вычтем $2$ из $8$ .

$C = 6$

Этап 9

Подставим $6$ вместо $C$ в $y = 2 x + \frac{C}{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $6$ вместо $C$ .

$y = 2 x + \frac{6}{x}$