Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 3}{5 x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} \cdot \frac{y - 3}{5 x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y - 3} d y = \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 3$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 3$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{\ln (| x |)}{5} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y - 3 |) - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y - 3 |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\ln (| y - 3 |) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y - 3 |)$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y - 3 |) \cdot 5 - \ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.5

Перенесем $5$ влево от $\ln (| y - 3 |)$ .

$\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{5 \ln (| y - 3 |) - \ln (| x |)}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $5 \ln (| y - 3 |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y - 3 |}^{5}) - \ln (| x |)}{5} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}{5}$ в виде $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ .

$\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{5} \ln (\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |})}^{\frac{1}{5}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к $\frac{{| y - 3 |}^{5}}{| x |}$ .

$\ln (\frac{{({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${({| y - 3 |}^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{5 (\frac{1}{5})}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{{| y - 3 |}^{1}}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y - 3 |}{{| x |}^{\frac{1}{5}}} {| x |}^{\frac{1}{5}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y - 3 | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Этап 3.9.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}}$

Этап 3.9.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{5}} + 3$