Математический анализ Примеры

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим левую часть.

$e^{- y} \sec (x) - \frac{d y}{d x} \cos (x) = 0$

Этап 1.1.2

Вычтем $e^{- y} \sec (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ на $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $- \frac{d y}{d x} \cos (x) = - e^{- y} \sec (x)$ на $- \frac{d y}{d x} \cos (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.2.2

Сократим общий множитель $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{- e^{- y} \sec (x)}{- \frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$1 = \frac{e^{- y} \sec (x)}{\frac{d y}{d x} \cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.2

Разделим дроби.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.4

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

Этап 1.1.3.3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.5.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.5.2

Объединим.

$1 = \frac{e^{- y} \cdot 1}{\frac{d y}{d x} (\cos (x) \cos (x))}$

Этап 1.1.3.3.5.3

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos (x) \cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.6.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos (x))}$

Этап 1.1.3.3.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}$

Этап 1.1.3.3.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 1.1.3.3.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.3.7

Умножим на $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

Этап 1.1.3.3.8

Разделим дроби.

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.3.3.9

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x} \cdot 1} \sec^{2} (x)$

Этап 1.1.3.3.10

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$1 = \frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}} \sec^{2} (x)$

Этап 1.1.3.3.11

Объединим $\frac{e^{- y}}{\frac{d y}{d x}}$ и $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}}$

Этап 1.1.4

Перепишем уравнение в виде $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$

Этап 1.1.5

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\frac{d y}{d x}, 1$

Этап 1.1.5.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\frac{d y}{d x}$

Этап 1.1.6

Каждый член в $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ умножим на $\frac{d y}{d x}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Умножим каждый член $\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} = 1$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Этап 1.1.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Сократим общий множитель $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- y} \sec^{2} (x)}{\frac{d y}{d x}} \frac{d y}{d x} = 1 \frac{d y}{d x}$

Этап 1.1.6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{- y} \sec^{2} (x) = 1 \frac{d y}{d x}$

Этап 1.1.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.3.1

Умножим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$e^{- y} \sec^{2} (x) = \frac{d y}{d x}$

Этап 1.1.7

Перепишем уравнение в виде $\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec^{2} (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $e^{- y} \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec^{2} (x)))$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec^{2} (x))$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = \tan (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\tan (x) + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\tan (x) + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\tan (x) + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\tan (x) + K)$