Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$2 d y = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 d y = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y + C_{1} = \int \frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y + C_{1} = (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) x + C_{2}$

Этап 2.3.2

Изменим порядок членов.

$2 y + C_{1} = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$

Этап 3

Разделим каждый член $2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y = x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3) + K$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3)}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} - 3 \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Объединим $- 3$ и $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (\frac{4 d^{7} y}{d x^{2}} + \frac{- 3 d x^{2}}{d x^{2}})}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x \frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{4 d^{7} y - 3 d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $\frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{d x^{2} \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.1.5

Перенесем $2$ влево от $d x^{2}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3.2

Чтобы записать $\frac{K}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{d x^{2}}{d x^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $\frac{K}{2}$ на $\frac{d x^{2}}{d x^{2}}$ .

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2})}{2 d x^{2}} + \frac{K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x (4 d^{7} y - 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Этап 3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{x (4 d^{7} y) + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Этап 3.3.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{4 x d^{7} y + x (- 3 d x^{2}) + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Этап 3.3.4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K d x^{2}}{2 d x^{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{4 x d^{7} y - 3 x d x^{2} + K}{2 d x^{2}}$