Математический анализ Примеры

$y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - 4 (x + y^{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 4 (x + y^{6})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 (x + y^{6})$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \frac{d}{d x} [x + y^{6}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x + y^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + \frac{d}{d x} [y^{6}])$

Этап 2.5

Поскольку $y^{6}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{6}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 (1 + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 \cdot 1$

Этап 2.6.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- 4$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 4$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 = - 4$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 4$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 - 1}{M}$

Этап 4.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $y$ вместо $M$ .

$\frac{- 4 - 1}{y}$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{- 5}{y}$

Этап 4.3.3

Подставим $y$ вместо $M$ .

$- \frac{5}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{5}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{5}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{5}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (5 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 5 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 5 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 5 \ln (| y |)$ путем переноса $- 5$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 5})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 5} + C$

Этап 5.6.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{5}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $y d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$y \frac{1}{y^{5}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{5}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{1}{y \cdot y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- 4 (x + y^{6})$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x - 4 (x + y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{4}} d x + (- 4 x - 4 y^{6}) \frac{1}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $- 4 x - 4 y^{6}$ на $\frac{1}{y^{5}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{- 4 x - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 4 y^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) - 4 y^{6}}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x) + 4 (- y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- x - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{6}$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x) - (y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.10

Перепишем $- (x + y^{6})$ в виде $- 1 (x + y^{6})$ .

$\frac{1}{y^{4}} d x + \frac{4 (- 1 (x + y^{6}))}{y^{5}} d y = 0$

Этап 6.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{4}} d x - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y^{4}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{1}{y^{4}}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = \frac{1}{y^{4}} x + C$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{y^{4}}$ и $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}} + g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{x}{y^{4}} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y^{4}}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{4}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.2

Перепишем $\frac{1}{y^{4}}$ в виде ${(y^{4})}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(y^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y^{4}$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y^{4}$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{4}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x (- {(y^{4})}^{- 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x (- y^{4 \cdot - 2} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x (- y^{- 8} (4 y^{3})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x (- 4 y^{- 8} y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.7

Умножим $y^{- 8}$ на $y^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Перенесем $y^{3}$ .

$x (- 4 (y^{3} y^{- 8})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x (- 4 y^{3 - 8}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.3.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 4 y^{- 5}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- 4 \frac{1}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{y^{5}}$ .

$x \frac{- 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x (- \frac{4}{y^{5}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5.2.3

Объединим $x$ и $\frac{4}{y^{5}}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5.2.4

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 11.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} = - \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Добавим $\frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} - \frac{4 x}{y^{5}} + \frac{4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 (x + y^{6})}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 4 x + 4 x + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.4

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.5

Добавим $0$ и $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y^{6}}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.6

Сократим общий множитель $y^{6}$ и $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.1

Вынесем множитель $y^{5}$ из $4 y^{6}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5}} = 0$

Этап 12.1.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{5} (4 y)}{y^{5} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + \frac{4 y}{1} = 0$

Этап 12.1.1.6.2.4

Разделим $4 y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 4 y = 0$

Этап 12.1.2

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - 4 y$

Этап 13

Найдем первообразную $- 4 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 4 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 4 y d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 4 y d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 4 \int y d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $- 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 4 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 4}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{- 2}{1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$g (y) = - 2 y^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y^{4}} - 2 y^{2} + C$