Математический анализ Примеры

$\frac{d r}{d θ} = π \cos (π θ)$ , $r (2) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d r = π \cos (π θ) d θ$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d r = \int π \cos (π θ) d θ$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$r + C_{1} = \int π \cos (π θ) d θ$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $π$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = π \int \cos (π θ) d θ$

Этап 2.3.2

Пусть $u = π θ$ . Тогда $d u = π d θ$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = π θ$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $θ$ , производная $π θ$ по $θ$ равна $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{π}$ и $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$r + C_{1} = 1 \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int \cos (u) d u$ на $1$ .

$r + C_{1} = \int \cos (u) d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$r + C_{1} = \sin (u) + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $π θ$ .

$r + C_{1} = \sin (π θ) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$r = \sin (π θ) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $θ$ и $2$ вместо $r$ в $r = \sin (π θ) + K$ .

$2 = \sin (π \cdot 2) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (π \cdot 2) + K = 2$ .

$\sin (π \cdot 2) + K = 2$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\sin (π \cdot 2) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\sin (2 \cdot π) + K = 2$

Этап 4.2.1.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\sin (0) + K = 2$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + K = 2$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 2$

Этап 5

Подставим $2$ вместо $K$ в $r = \sin (π θ) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $K$ .

$r = \sin (π θ) + 2$