Математический анализ Примеры

$x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ на $x^{2} y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} y \frac{d y}{d x} = e^{y}$ на $x^{2} y$ .

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y \frac{d y}{d x}}{x^{2} y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Этап 1.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Этап 1.1.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{x^{2} y}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \cdot 1}{y x^{2}}$

Этап 1.4.2

Объединим.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (e^{y} \cdot 1)}{e^{y} (y x^{2})}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} (x^{2})}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{e^{y} \cdot 1}{e^{y} x^{2}}$

Этап 1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.2.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.8

Перепишем $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ в виде $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.10

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- x^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - \frac{1}{x} + K$