Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Умножим $v^{\frac{1}{3}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.12

Перенесем $v^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.14

Объединим $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Этап 4.16

Умножим $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 4.17

Умножим $v^{\frac{2}{3}}$ на $v^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Перенесем $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Этап 4.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 4.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 4.17.4

Добавим $2$ и $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{3}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 - 2 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ умножим на $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ на $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $3 v^{\frac{4}{3}}$ из $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.4

Умножим $v^{- \frac{1}{3}}$ на $v^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.4.1

Перенесем $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.4.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.4.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.5

Упростим $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.8

Перенесем $- 1$ влево от $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.2.1.9

Перепишем $- 1 v$ в виде $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 - 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.3.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.3.3

Умножим $\frac{1}{3} (- 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.3.3.2

Объединим $\frac{- 2}{3}$ и $x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 6.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} - \frac{2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 (- \frac{2 x}{3})) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{3}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.7.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 3 (- 1) \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 3 \cdot - 1 \frac{- 2 x}{3}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - (- 2 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.8.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.8.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.8.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.8.2.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.8.2.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.8.2.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.8.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.9

Умножим $v^{- \frac{4}{3}}$ на $v^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.9.1

Перенесем $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Этап 6.1.1.3.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.9.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Этап 6.1.1.3.9.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{\frac{0}{3}}$

Этап 6.1.1.3.9.5

Разделим $0$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 + 2 x) v^{0}$

Этап 6.1.1.3.10

Упростим $(- 1 + 2 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 + 2 x$

Этап 6.1.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d v}{d x} - v = 2 x - 1$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 1 d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 6.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 6.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 6.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int 2 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- x} v = \int 2 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{- x} v = \int 2 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} v = 2 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.3

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.5.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.6

Пусть $u_{1} = - x$ . Тогда $d u_{1} = - d x$ , следовательно $- d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1

Пусть $u_{1} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.6.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 6.7.6.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.7.6.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.7.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.8

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Этап 6.7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Этап 6.7.10

Пусть $u_{2} = - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1

Пусть $u_{2} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.10.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 6.7.10.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 6.7.10.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 6.7.10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6.7.11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6.7.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6.7.12.2

Умножим $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 6.7.13

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Этап 6.7.14

Упростим.

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Этап 6.7.15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Этап 6.7.15.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Этап 6.8

Разделим каждый член $e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член $e^{- x} v = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ на $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$v = \frac{- 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$v = \frac{- 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.3.1

Добавим $- 2 e^{- x}$ и $e^{- x}$ .

$v = \frac{- 2 x e^{- x} - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x e^{- x}$ .

$v = \frac{- (2 x e^{- x}) - e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- x}$ .

$v = \frac{- (2 x e^{- x}) - (e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x e^{- x}) - (e^{- x})$ .

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x}) + C}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x}) - 1 (- C)}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x e^{- x} + e^{- x}) - 1 (- C)$ .

$v = \frac{- (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.3.7.1

Перепишем $- (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)$ в виде $- 1 (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)$ .

$v = \frac{- 1 (2 x e^{- x} + e^{- x} - C)}{e^{- x}}$

Этап 6.8.3.3.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$v = - \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} - C}{e^{- x}}$

Этап 7

Подставим $y^{- 3}$ вместо $v$ .

$y^{- 3} = - \frac{2 x e^{- x} + e^{- x} - C}{e^{- x}}$