Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$ , $u (0) = - 7$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2 u}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u$ .

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$u \frac{d u}{d t} = u \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{u \cdot 2}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$u \frac{d u}{d t} = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$u d u = \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int u d u = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t + \sec^{2} (t)}{2} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 t + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 2 t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3})$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$\frac{1}{2} u^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} u^{2} = \frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}) = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} u^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u^{2}$ .

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{u^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} (t^{2} + \tan (t)) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2} \tan (t) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\tan (t)$ .

$u^{2} = 2 (\frac{t^{2}}{2} + \frac{\tan (t)}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} = 2 \frac{t^{2}}{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} = t^{2} + 2 \frac{\tan (t)}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} = t^{2} + \tan (t) + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$u = \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$

Этап 5

Так как $u$ принимает отрицательные значения при начальном условии $(0, - 7)$ , рассмотрим $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $t$ , а $- 7$ вместо $u$ .

$- 7 = - \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 7$ .

$- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K} = - 7$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{0^{2} + \tan (0) + K})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0^{2} + \tan (0) + K}$ в виде ${(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${(- {(0^{2} + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(- {(0 + \tan (0) + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

${(- {(0 + 0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1.1

Добавим $0$ и $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.2.1

Применим правило умножения к $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2.3

Умножим ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2.4

Перемножим экспоненты в ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$K^{1} = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$K = {(- 7)}^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$K = 49$

Этап 7

Подставим $49$ вместо $K$ в $u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $49$ вместо $K$ .

$u = - \sqrt{t^{2} + \tan (t) + 49}$