Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y}$ , $y (0) = - 9$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x}{y}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int x d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{x^{2} + K}$

Этап 5

Так как $y$ принимает отрицательные значения при начальном условии $(0, - 9)$ , рассмотрим $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $- 9$ вместо $y$ .

$- 9 = - \sqrt{0^{2} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \sqrt{0^{2} + K} = - 9$ .

$- \sqrt{0^{2} + K} = - 9$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{0^{2} + K})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{0^{2} + K}$ в виде ${(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${(- {(0^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(- {(0 + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

${(- K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Применим правило умножения к $- K^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.5

Умножим ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.6

Перемножим экспоненты в ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.2.1

Сократим общий множитель.

$K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.6.2.2

Перепишем это выражение.

$K^{1} = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.2.1.7

Упростим.

$K = {(- 9)}^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$K = 81$

Этап 7

Подставим $81$ вместо $K$ в $y = - \sqrt{x^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $81$ вместо $K$ .

$y = - \sqrt{x^{2} + 81}$