Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на $- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2}$ на $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $v^{2}$ из $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5

Умножим $v^{- 1}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.6

Упростим $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.2.1.8

Умножим $v$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Этап 6.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{- 2} (- v^{2})$

Этап 6.1.3.2

Умножим $v^{- 2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Этап 6.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{2 - 2} \cdot - 1$

Этап 6.1.3.2.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$

Этап 6.1.3.3

Упростим $2 e^{x} v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 2 e^{x} \cdot - 1$

Этап 6.1.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - 2 e^{x}$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} (- 2 e^{x})$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x} e^{x}$

Этап 6.3.3

Умножим $e^{x}$ на $e^{x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 (e^{x} e^{x})$

Этап 6.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{x + x}$

Этап 6.3.3.3

Добавим $x$ и $x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = - 2 e^{2 x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = - 2 e^{2 x}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = - 2 e^{2 x}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int - 2 e^{2 x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} v = \int - 2 e^{2 x} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} v = - 2 \int e^{2 x} d x$

Этап 6.7.2

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 6.7.2.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 6.7.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 6.7.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x} v = - 2 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 6.7.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} v = - 2 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 6.7.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{x} v = - 2 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{- 2}{2} \int e^{u} d u$

Этап 6.7.5.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 6.7.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Этап 6.7.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{x} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Этап 6.7.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{x} v = \frac{- 1}{1} \int e^{u} d u$

Этап 6.7.5.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} v = - \int e^{u} d u$

Этап 6.7.6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x} v = - (e^{u} + C)$

Этап 6.7.7

Упростим.

$e^{x} v = - e^{u} + C$

Этап 6.7.8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{x} v = - e^{2 x} + C$

Этап 6.8

Разделим каждый член $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член $e^{x} v = - e^{2 x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{2 x}$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{e^{x} (- e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{- e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 6.8.3.1.2.4

Разделим $- e^{x}$ на $1$ .

$v = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7

Подставим $y^{- 1}$ вместо $v$ .

$y^{- 1} = - e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$