Математический анализ Примеры

$e^{- y} \sin (x) - \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $e^{- y} \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ на $- \cos^{2} (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x) = - e^{- y} \sin (x)$ на $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- \frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- e^{- y} \sin (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.3.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 1.1.2.3.3

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 1.1.2.3.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 1.1.2.3.5

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 1.1.2.3.6

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{- y}}{1} \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.1.2.3.7

Разделим $e^{- y}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sec (x) \tan (x))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $e^{- y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $e^{- y}$ из $e^{- y} \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{- y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2.1.2.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{y}$ на $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 2.3

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \sec (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y} = \sec (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (\sec (x) + K)$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (\sec (x) + K)$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\sec (x) + K)$

Этап 3.2.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (\sec (x) + K)$