Математический анализ Примеры

$x d y + (x y + y - 1) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(x y + y - 1) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y + y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y - 1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y + y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1 + 0$

Этап 2.4.3

Добавим $x + 1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 1$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 1 = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x + 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $x + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x + 1 - 1}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{x + 1 - 1}{x}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{x + 0}{x}$

Этап 5.3.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{x}{x}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$μ (x, y) = e^{x + C}$

Этап 6.2

Упростим.

$μ (x, y) = e^{x} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(x y + y - 1) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x y + y - 1$ на $e^{x}$ .

$(x y + y - 1) e^{x} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x y e^{x} + y e^{x} - 1 e^{x}) d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x d y = 0$

Этап 7.4

Умножим $x$ на $e^{x}$ .

$(x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}) d x + x e^{x} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x e^{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x e^{x} y + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y + g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $x e^{x} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x e^{x} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x e^{x} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$y (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x e^{x}) + y e^{x} + \frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 12.5.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d x} + e^{x} x y + e^{x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + x y e^{x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x}$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $x y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y e^{x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x}$

Этап 13.1.2

Вычтем $y e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$

Этап 13.1.3

Объединим противоположные члены в $x y e^{x} + y e^{x} - e^{x} - x y e^{x} - y e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Вычтем $x y e^{x}$ из $x y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Этап 13.1.3.2

Добавим $0$ и $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = y e^{x} - e^{x} - y e^{x}$

Этап 13.1.3.3

Вычтем $y e^{x}$ из $y e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 - e^{x}$

Этап 13.1.3.4

Вычтем $e^{x}$ из $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - e^{x}$

Этап 14

Найдем первообразную $- e^{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - e^{x} d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - e^{x} d x$

Этап 14.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int e^{x} d x$

Этап 14.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$g (x) = - (e^{x} + C)$

Этап 14.5

Упростим.

$g (x) = - e^{x} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x e^{x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$

Этап 16

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x e^{x} y - e^{x} + C$ .

$f (x, y) = x y e^{x} - e^{x} + C$