Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\arctan (y) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $- x^{- 1} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = - \frac{1}{x} + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (- \frac{1}{x} + K)$