Математический анализ Примеры

$4 x y^{2} d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $4 x y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} + 1) d y = - 4 x y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2})} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (- 4 x y^{2}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - 4 \frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{(x^{2} + 1) y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{(x^{2} + 1) y^{2}} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $(x^{2} + 1) y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (x y^{2}) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{y^{2} (x^{2} + 1)} (y^{2} x) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 4}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.4.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} = - 2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $- 2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 5.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) + C$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Этап 5.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) y + C y$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уберем знак модуля в ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- 1 = - \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$

Этап 5.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем уравнение в виде $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$ .

$- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y = - 1$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C y = - 1$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C = - 1$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + y C$ .

$y (- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Этап 5.4.3

Перепишем $- 1 \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ в виде $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$

Этап 5.4.4

Разделим каждый член $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ на $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Разделим каждый член $y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C) = - 1$ на $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Этап 5.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C)}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C} = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Этап 5.4.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Этап 5.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$

Этап 5.4.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln ({(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) + C}$

Этап 5.4.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)}$

Этап 5.4.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2})) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Этап 5.4.4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.5.1

Перепишем $- (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ в виде $- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C)}$

Этап 5.4.4.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - - \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Этап 5.4.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Этап 5.4.4.3.5.4

Умножим $\frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - C}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{1}{\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) + C}$