Математический анализ Примеры

$3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $3 \frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 2 x^{4} y^{4}$ на $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{\frac{3}{x} y}{3} = \frac{2 x^{4} y^{4}}{3}$

Этап 1.3

Объединим $\frac{3}{x}$ и $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x} = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Этап 1.4

Вынесем множитель $y$ из $\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}) = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Этап 1.5

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $v^{\frac{1}{3}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.12

Перенесем $v^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.14

Объединим $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.15

Перепишем $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Этап 5.16

Умножим $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.17

Умножим $v^{\frac{2}{3}}$ на $v^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.17.1

Перенесем $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Этап 5.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Этап 5.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Этап 5.17.4

Добавим $2$ и $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{3}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} y = \frac{2}{3} x^{4} y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ умножим на $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ на $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $3 v^{\frac{4}{3}}$ из $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4

Умножим $v^{- \frac{1}{3}}$ на $v^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.4.1

Перенесем $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.4

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.5

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5

Упростим $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.7

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} (- 1 \cdot (3)) = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot - 3 = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.9

Объединим $\frac{v}{x}$ и $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v \cdot - 3}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.10

Перенесем $- 3$ влево от $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 3 \cdot v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2}{3} x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{4}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Этап 7.1.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 1 \cdot 3 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 1 \cdot 3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = 3 \cdot - 1 \frac{2 x^{4}}{3} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - (2 x^{4}) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.4.2.2

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.2.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.4.2.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.5

Умножим $v^{- \frac{4}{3}}$ на $v^{\frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.5.1

Перенесем $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Этап 7.1.1.3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Этап 7.1.1.3.5.4

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{\frac{0}{3}}$

Этап 7.1.1.3.5.5

Разделим $0$ на $3$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4} v^{0}$

Этап 7.1.1.3.6

Упростим $- 2 x^{4} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3 v}{x} = - 2 x^{4}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{3 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{3}{x}) = - 2 x^{4}$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{3}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{3}{x} v = - 2 x^{4}$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{3}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.5

Упростим.

$e^{- 3 \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 3 \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 3})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 3}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}} (- \frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} (\frac{3}{x} v) = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{3}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{3 v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{3 v}{x}$ на $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x \cdot x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1} x^{3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{1 + 3}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.2.4.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{1}{x^{3}} (- 2 x^{4})$

Этап 7.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 \frac{1}{x^{3}} x^{4}$

Этап 7.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} x^{4}$

Этап 7.3.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Этап 7.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = \frac{- 2}{x^{3}} (x^{3} x)$

Этап 7.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{3}} - \frac{3 v}{x^{4}} = - 2 x$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] = - 2 x$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} v] d x = \int - 2 x d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{3}} v = \int - 2 x d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 \int x d x$

Этап 7.7.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 7.7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3}} v = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Этап 7.7.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{3}} v = - x^{2} + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $v$ .

$\frac{v}{x^{3}} = - x^{2} + C$

Этап 7.8.2

Умножим обе части на $x^{3}$ .

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Этап 7.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x^{3}} x^{3} = (- x^{2} + C) x^{3}$

Этап 7.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (- x^{2} + C) x^{3}$

Этап 7.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1

Упростим $(- x^{2} + C) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = - x^{2} x^{3} + C x^{3}$

Этап 7.8.3.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$v = - (x^{3} x^{2}) + C x^{3}$

Этап 7.8.3.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v = - x^{3 + 2} + C x^{3}$

Этап 7.8.3.2.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$v = - x^{5} + C x^{3}$

Этап 8

Подставим $y^{- 3}$ вместо $v$ .

$y^{- 3} = - x^{5} + C x^{3}$