Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(y - 1)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} {(y - 1)}^{2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y - 1} = x + K$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x (y - 1) + K (y - 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = x y + x \cdot - 1 + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- 1 = x y - 1 \cdot x + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- 1 = x y - x + K (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = x y - x + K y + K \cdot - 1$

Этап 3.2.3.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $K$ .

$- 1 = x y - x + K y - 1 \cdot K$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем $- 1 K$ в виде $- K$ .

$- 1 = x y - x + K y - K$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $x y - x + K y - K = - 1$ .

$x y - x + K y - K = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y + K y - K = - 1 + x$

Этап 3.3.2.2

Добавим $K$ к обеим частям уравнения.

$x y + K y = - 1 + x + K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x + K y = - 1 + x + K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y x + y K = - 1 + x + K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 + x + K$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (x + K) = - 1 + x + K$ на $x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (x + K) = - 1 + x + K$ на $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 + x}{x + K} + \frac{K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 + x + K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + x + K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- x) + K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) + K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x) - 1 (- K)}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 - x) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - x - K)}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 - x - K}{x + K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 - x + K}{x + K}$