Математический анализ Примеры

$\frac{d h}{d t} = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d h = \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d h = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$h + C_{1} = \int \frac{17.6 t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $17.6$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $17.6$ из-под знака интеграла.

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{t}{\sqrt{17.6 t^{2} + 1}} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Тогда $d u = 35.2 t d t$ , следовательно $\frac{1}{35.2} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 17.6 t^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $17.6 t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2} + 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $17.6 t^{2} + 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [17.6 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $17.6$ является константой относительно $t$ , производная $17.6 t^{2}$ по $t$ равна $17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$17.6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$17.6 (2 t) + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $17.6$ .

$35.2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$35.2 t + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $35.2 t$ и $0$ .

$35.2 t$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{35.2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{35.2}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 35.2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $35.2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$h + C_{1} = 17.6 \int \frac{1}{35.2 \sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{35.2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{35.2}$ из-под знака интеграла.

$h + C_{1} = 17.6 (\frac{1}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 2.3.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{35.2}$ и $17.6$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 2.3.5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$h + C_{1} = \frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{17.6}{35.2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$ .

$h + C_{1} = 0.5 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $2$ на $0.5$ .

$h + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$h + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $17.6 t^{2} + 1$ .

$h + C_{1} = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$h = {(17.6 t^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$