Математический анализ Примеры

$x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Этап 1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Изменим порядок множителей в $x \sin (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} + x - y \sin (\frac{y}{x})$ .

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) + x - y \sin (\frac{y}{x}) = 0$

Этап 1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) - y \sin (\frac{y}{x}) = - x$

Этап 1.2.2

Добавим $y \sin (\frac{y}{x})$ к обеим частям уравнения.

$x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$

Этап 1.3

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ на $x \sin (\frac{y}{x})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x}) = - x + y \sin (\frac{y}{x})$ на $x \sin (\frac{y}{x})$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \sin (\frac{y}{x})}{\sin (\frac{y}{x})} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x}{x \sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.2

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\frac{y}{x})} + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\sin (\frac{y}{x})}$ в $\csc (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1} \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.5

Сократим общий множитель $\sin (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y \sin (\frac{y}{x})}{x \sin (\frac{y}{x})}$

Этап 1.3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = - \csc (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (V) + V$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = - \csc (V) + V$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + V - V$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $- \csc (V) + V - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V) + 0$

Этап 6.1.1.1.2.2

Добавим $- \csc (V)$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = - \csc (V)$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \csc (V)}{x}$

Этап 6.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{\csc (V)}{x}$

Этап 6.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\csc (V)}$ .

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\csc (V)} (- \frac{\csc (V)}{x})$

Этап 6.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель $\csc (V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\csc (V)}$ в числитель.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Этап 6.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{\csc (V)} \cdot \frac{\csc (V)}{x}$

Этап 6.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\csc (V)} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 6.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\csc (V)} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\csc (V)} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Выразим $\csc (V)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (V)}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (V)}$ .

$\int 1 \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.1.3

Умножим $\sin (V)$ на $1$ .

$\int \sin (V) d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $\sin (V)$ по $V$ имеет вид $- \cos (V)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \cos (V) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \cos (V) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \cos (V) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$

Этап 6.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $- \cos (V) = - \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (V)}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (V)}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.2.2

Разделим $\cos (V)$ на $1$ .

$\cos (V) = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (V) = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.2

Разделим $\ln (| x |)$ на $1$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 6.3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Этап 6.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\cos (V) = \ln (| x |) - C$

Этап 6.3.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $V$ из косинуса.

$V = \arccos (\ln (| x |) - C)$

Этап 6.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} = \arccos (\ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \arccos (\ln (| x |) + C) x$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Изменим порядок множителей в $\arccos (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arccos (\ln (| x |) + C)$