Математический анализ Примеры

$x^{2} d y + y^{2} d x = 0$

Этап 1

Вычтем $y^{2} d x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} d y = - y^{2} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y^{2})} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} y^{2}} x^{2} d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x^{2} y^{2}} (- y^{2}) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{x^{2} y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{x^{2} y^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} x^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y^{2} x^{2}} y^{2} d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Перепишем $- (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, x, 1$

Этап 5.1.2

Так как $y, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}, x^{1}$ .

Этап 5.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.1.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 5.1.8

НОК $y^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y x$

Этап 5.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + K$ умножим на $y x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{1}{x} + K$ на $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Этап 5.2.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Этап 5.2.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- x = \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $y x$ .

$- x = \frac{1}{x} (x y) + K (y x)$

Этап 5.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x = \frac{1}{x} (x y) + K (y x)$

Этап 5.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x = y + K (y x)$

$- x = y + K y x$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $y + K y x = - x$ .

$y + K y x = - x$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y + K y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + K y x = - x$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $K y x$ .

$y \cdot 1 + y (K x) = - x$

Этап 5.3.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (K x)$ .

$y (1 + K x) = - x$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y (1 + K x) = - x$ на $1 + K x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y (1 + K x) = - x$ на $1 + K x$ .

$\frac{y (1 + K x)}{1 + K x} = \frac{- x}{1 + K x}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $1 + K x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 + K x)}{1 + K x} = \frac{- x}{1 + K x}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x}{1 + K x}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{1 + K x}$