Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3}}{x + 3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x + 3} y^{3}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (\frac{x^{2}}{x + 3} y^{3})$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $\frac{x^{2}}{x + 3} y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \frac{x^{2}}{x + 3})$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \frac{x^{2}}{x + 3})$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x + 3}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $x^{2}$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 3 x$ .

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

Этап 2.3.1.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Этап 2.3.1.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Этап 2.3.1.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

Этап 2.3.1.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 9$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

Этап 2.3.1.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

Этап 2.3.1.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3} + \int \frac{9}{x + 3} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3} + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x$

Этап 2.3.6

Пусть $u = x + 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Пусть $u = x + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1.1

Дифференцируем $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Этап 2.3.6.1.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.6.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3} + 9 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3} + 9 (\ln (| u |) + C_{4})$

Этап 2.3.8

Упростим.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |) + C_{5}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |) + C$

Этап 3.1.1.2

Упростим $9 \ln (| x + 3 |)$ путем переноса $9$ под логарифм.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} - 3 x + \ln ({| x + 3 |}^{9}) + C$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $\ln ({| x + 3 |}^{9})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| x + 3 |}^{9}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 3.1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Объединим $\ln ({| x + 3 |}^{9})$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x + 3 |}^{9}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 3.1.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({| x + 3 |}^{9}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 3.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $\ln ({| x + 3 |}^{9}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Изменим порядок $\ln ({| x + 3 |}^{9})$ и $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + 2 \cdot \ln ({| x + 3 |}^{9})}{2} + C$

Этап 3.1.4.1.2

Упростим $2 \cdot \ln ({| x + 3 |}^{9})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({({| x + 3 |}^{9})}^{2})}{2} + C$

Этап 3.1.4.2

Перемножим экспоненты в ${({| x + 3 |}^{9})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({| x + 3 |}^{9 \cdot 2})}{2} + C$

Этап 3.1.4.2.2

Умножим $9$ на $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({| x + 3 |}^{18})}{2} + C$

Этап 3.1.4.3

Уберем знак модуля в ${| x + 3 |}^{18}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} + C$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 1, 2, 1$

Этап 3.2.2

Так как $2 y^{2}, 1, 2, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{2}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.2.7

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.8

НОК $2, 1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.2.9

Множители $y^{2}$ — $y \cdot y$ , то есть $y$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ встречается $2$ раз.

Этап 3.2.10

НОК $y^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y \cdot y$

Этап 3.2.11

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2}$

Этап 3.2.12

НОК $2 y^{2}, 1, 2, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 y^{2}$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} + C$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = - 3 x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} + C$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 3 x (2 y^{2}) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 3 x (2 y^{2}) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - 3 x (2 y^{2}) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 3 x (2 y^{2}) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 3 \cdot 2 x y^{2} + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$- 1 = - 6 x y^{2} + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} (2 y^{2}) + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 6 x y^{2} + 2 \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} y^{2} + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$- 1 = - 6 x y^{2} + 2 \frac{x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})}{2} y^{2} + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 6 x y^{2} + (x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})) y^{2} + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = - 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) y^{2} + C (2 y^{2})$

Этап 3.3.3.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) y^{2} + 2 C y^{2}$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $- 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) y^{2} + 2 C y^{2}$ .

$- 1 = - 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2} = - 1$ .

$- 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 6 x y^{2} + x^{2} y^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 6 x y^{2}$ .

$y^{2} (- 6 x) + x^{2} y^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} (- 6 x) + y^{2} x^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18})$ .

$y^{2} (- 6 x) + y^{2} x^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C y^{2} = - 1$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y^{2}$ из $2 C y^{2}$ .

$y^{2} (- 6 x) + y^{2} x^{2} + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + y^{2} (2 C) = - 1$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- 6 x) + y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (- 6 x + x^{2}) + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18}) + y^{2} (2 C) = - 1$

Этап 3.4.2.6

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- 6 x + x^{2}) + y^{2} \ln ({(x + 3)}^{18})$ .

$y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})) + y^{2} (2 C) = - 1$

Этап 3.4.2.7

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18})) + y^{2} (2 C)$ .

$y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C) = - 1$ на $- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C) = - 1$ на $- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C$ .

$\frac{y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C)}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C} = \frac{- 1}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C)}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C} = \frac{- 1}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{- 6 x + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x) + x^{2} + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x^{2}$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x) - 1 (- x^{2}) + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x) - 1 (- x^{2})$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x - x^{2}) + \ln ({(x + 3)}^{18}) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln ({(x + 3)}^{18})$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x - x^{2}) - 1 (- \ln ({(x + 3)}^{18})) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x - x^{2}) - 1 (- \ln ({(x + 3)}^{18}))$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18})) + 2 C}$

Этап 3.4.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $2 C$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18})) - (- 2 C)}$

Этап 3.4.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18})) - (- 2 C)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}$

Этап 3.4.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.9.1

Перепишем $- (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)$ в виде $- 1 (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{- 1 (6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}$

Этап 3.4.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - - \frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.3.3.9.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.3.3.9.4

Умножим $\frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ на $\frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}} \cdot \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ на $\frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C} \sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5.4.2

Возведем $\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{1} \sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}$

Этап 3.4.5.4.3

Возведем $\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{1} {\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{1}}$

Этап 3.4.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{2}}$

Этап 3.4.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}^{2}$ в виде $6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$ в виде ${(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{({(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{{(6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C)}^{1}}$

Этап 3.4.5.4.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}}{6 x - x^{2} - \ln ({(x + 3)}^{18}) - 2 C}$

Этап 3.4.6.3