Математический анализ Примеры

$(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y - 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $x y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} - x y]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x - y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = 2 x - y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x - y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} - x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} - x y$ вместо $N$ .

$\frac{x - (2 x - y)}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - (2 x) - - y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1 y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{x - 2 x + y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x + y}{x^{2} - x y}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x - x y}$

Этап 4.3.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{- x + y}{x \cdot x + x (- 1 y)}$

Этап 4.3.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{- x + y}{x (x - 1 y)}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{- x + y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- x + y$ и $x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + y}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{- (x) - 1 (- y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (x - y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (x - y)$ в виде $- 1 (x - y)$ .

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (x - y)}{x (x - y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| x |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x y - 1) d x + (x^{2} - x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x y - 1$ на $\frac{1}{x}$ .

$(x y - 1) \frac{1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $x y - 1$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} - x y$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x^{2} - x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} - x y$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x^{2} - x y}{x} d y = 0$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x - x y}{x} d y = 0$

Этап 6.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x} d y = 0$

Этап 6.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - 1 y)}{x} d y = 0$

Этап 6.5.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y - 1}{x} d x + \frac{x (x - y)}{x} d y = 0$

Этап 6.6.2

Разделим $x - y$ на $1$ .

$\frac{x y - 1}{x} d x + (x - y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x - y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x d y + \int - y d y$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x y + C + \int - y d y$

Этап 8.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x y + C - \int y d y$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.4

Поскольку $- \frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 11.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y - 1}{x}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y - 1}{x} - y$

Этап 12.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{x y - 1}{x}$ на две дроби.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Этап 12.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{- 1}{x} - y$

Этап 12.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{- 1}{x} - y$

Этап 12.1.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d g}{d x} = y - \frac{1}{x} - y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $y - \frac{1}{x} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x} + 0$

Этап 12.1.3.2

Добавим $- \frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 13

Найдем первообразную $- \frac{1}{x}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Этап 13.5

Упростим.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{2} y^{2} - \ln (| x |) + C$

Этап 15

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{y^{2}}{2} - \ln (| x |) + C$