Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{\cos (π x)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{3 y^{2}}{\cos (π x)}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \cos (π x)}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \cos (π x)}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{\cos (π x)}$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\cos (π x)}$

Этап 1.2.4

Разделим дроби.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π x)}$

Этап 1.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (π x)}$ в $\sec (π x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{1} \sec (π x)$

Этап 1.2.6

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \sec (π x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 3 \sec (π x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 3 \sec (π x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \sec (π x) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \sec (u) \frac{1}{π} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\sec (u)$ и $\frac{1}{π}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{\sec (u)}{π} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 (\frac{1}{π} \int \sec (u) d u)$

Этап 2.3.5

Объединим $\frac{1}{π}$ и $3$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \int \sec (u) d u$

Этап 2.3.6

Интеграл $\sec (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sec (u) + \tan (u) |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} (\ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (u) + \tan (u) |) + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $π x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{3}{π} \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{3}{π}$ и $\ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{3 \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)}{π} + C$

Этап 3.1.2

Упростим $3 \ln (| \sec (π x) + \tan (π x) |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, π, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, π, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.2.6

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.7

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} y + C y$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}$ и $y$ .

$- 1 = \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3}) y}{π} + C y$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3}) y}{π} + C y$ .

$- 1 = \frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y = - 1$ .

$\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y \ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}) + C y = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π}) + y C = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + y C$ .

$y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$ на $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C) = - 1$ на $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ .

$\frac{y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C)}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C} = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C)}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C} = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{\frac{\ln ({| \sec (π x) + \tan (π x) |}^{3})}{π} + C}$