Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} + y = e^{- t}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d t}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{t}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} e^{- t}$

Этап 2.2

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t - t}$

Этап 2.2.2

Вычтем $t$ из $t$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{0}$

Этап 2.3

Упростим $e^{0}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = 1$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = 1$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = 1$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int d t$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{t} y = \int d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t} y = t + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{t} y = t + C$ на $e^{t}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{t} y = t + C$ на $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{t}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$