Математический анализ Примеры

$x^{2} d y + (x y + x^{2}) d x = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x y + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + x^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x y + x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x y$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x = 2 x$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 5.2

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x)}{N}$

Этап 5.3

Подставим $x^{2}$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $x^{2}$ вместо $N$ .

$\frac{x - (2 x)}{x^{2}}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x - 1 \cdot 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 2 x}{x^{2}}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Этап 5.3.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 1 \cdot 2)}{x^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x (1 - 2)}{x^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{x^{2}}$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 1)}{x^{2}}$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (- 1)}{x \cdot x}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 1}{x \cdot x}$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x}$

Этап 5.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $- \ln (| x |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Этап 6.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $(x y + x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $x y + x^{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$(x y + x^{2}) \frac{1}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.2

Умножим $x y + x^{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x y + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{x (y) + x^{2}}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x (y) + x \cdot x}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (y) + x \cdot x$ .

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (y + x)}{x} d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.4.2

Разделим $y + x$ на $1$ .

$(y + x) d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x^{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$(y + x) d x + x^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.6.2

Сократим общий множитель.

$(y + x) d x + x \cdot x \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 7.6.3

Перепишем это выражение.

$(y + x) d x + x d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x y + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y + x$

Этап 12

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y + x$

Этап 12.2

По правилу суммы производная $x y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Этап 12.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Этап 12.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Этап 12.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y + x$

Этап 12.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y + x$

Этап 12.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y = y + x$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y + x - y$

Этап 13.1.2

Объединим противоположные члены в $y + x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вычтем $y$ из $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Этап 13.1.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Этап 14

Найдем первообразную $x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Этап 14.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 16

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = x y + \frac{x^{2}}{2} + C$