Математический анализ Примеры

$(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + 6 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + 6 x^{2} y]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 6 x^{2} y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Этап 1.2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [6 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $6 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $6 x^{2} y$ по $y$ равна $6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2} \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x^{2}$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{3} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} - 2 x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 2 y$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 9 x^{2} - 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $9 x^{2} - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$6 x^{2} = 9 x^{2} - 2 y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $6 x^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $9 x^{2} - 2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $3 x^{3} - 2 x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 x^{3} - 2 x y$ вместо $N$ .

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2} - 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 x^{2} - (9 x^{2}) - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} - (- 2 y)}{3 x^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 9 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $9 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{3 x^{3} - 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) - 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $- 3 x^{2} + 2 y$ и $3 x^{2} - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) + 2 y}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - (- 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{- (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4.4

Перепишем $- (3 x^{2} - 2 y)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 2 y)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4.5

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (3 x^{2} - 2 y)}{x (3 x^{2} - 2 y)}$

Этап 4.3.4.6

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{x}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $- \ln (| x |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Этап 5.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 x + 6 x^{2} y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 x + 6 x^{2} y$ на $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + 6 x^{2} y) \frac{1}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $2 x + 6 x^{2} y$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x + 6 x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{2 x (1) + 6 x^{2} y}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x (1) + 2 x (3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (1) + 2 x (3 x y)$ .

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x (1 + 3 x y)}{x} d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.4.2

Разделим $2 (1 + 3 x y)$ на $1$ .

$2 (1 + 3 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 1 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 + 2 (3 x y)) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $3$ на $2$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) d y = 0$

Этап 6.8

Умножим $3 x^{3} - 2 x y$ на $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{3} - 2 x y) \frac{1}{x} d y = 0$

Этап 6.9

Умножим $3 x^{3} - 2 x y$ на $\frac{1}{x}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{3 x^{3} - 2 x y}{x} d y = 0$

Этап 6.10

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) - 2 x y}{x} d y = 0$

Этап 6.10.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x y$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2}) + x (- 2 y)}{x} d y = 0$

Этап 6.10.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x^{2}) + x (- 2 y)$ .

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Этап 6.11

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Сократим общий множитель.

$(2 + 6 x y) d x + \frac{x (3 x^{2} - 2 y)}{x} d y = 0$

Этап 6.11.2

Разделим $3 x^{2} - 2 y$ на $1$ .

$(2 + 6 x y) d x + (3 x^{2} - 2 y) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 + 6 x y d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 + 6 x y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 d x + \int 6 x y d x$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 x + C + \int 6 x y d x$

Этап 8.3

Поскольку $6 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y \int x d x$

Этап 8.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + C + 6 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.5

Упростим.

$f (x, y) = 2 x + 6 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} + C$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{6}{2} y x^{2} + C$

Этап 8.6.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2} y x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} y x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = 2 x + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} y x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 2 x + \frac{3}{1} y x^{2} + C$

Этап 8.6.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x + 3 y x^{2} + g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

По правилу суммы производная $2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.2.2

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 y x^{2}$ по $y$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Добавим $0$ и $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 11.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} = 3 x^{2} - 2 y$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} - 2 y - 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- 2 y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Этап 13

Найдем первообразную $- 2 y$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Этап 13.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = 2 x + 3 y x^{2} - y^{2} + C$