Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x e^{x^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = x e^{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Этап 2.3.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Этап 2.3.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Этап 2.3.1.1.4.2

Изменим порядок множителей в $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$