Математический анализ Примеры

$2 y d y = (x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} + 1 d x$

Этап 1.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 1.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int d x$

Этап 1.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 1.3.4

Упростим.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{4}$

Этап 1.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$

Этап 2.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3} x^{3} + x + K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x + K}$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + x \cdot \frac{3}{3} + K}$

Этап 2.2.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{3} + \frac{x \cdot 3}{3} + K}$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3}{3} + K}$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}{3} + K}$

Этап 2.2.5.2

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x (3)}{3} + K}$

Этап 2.2.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K}$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 2.2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x (x^{2} + 3) + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1} x^{2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{1 + 2} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x \cdot 3 + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 \cdot x + K \cdot 3}{3}}$

Этап 2.2.8.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$

Этап 2.2.9

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{3} + 3 x + 3 K}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.10

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.2.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.11.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.2.11.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.2.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.2.11.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.2.11.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} + 3 x + 3 K} \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.2.12

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Этап 2.2.13

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} + 3 x + 3 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Этап 2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Этап 2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Этап 2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + 3 K)}}{3}$

Этап 3

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x^{3} + 3 x + K)}}{3}$