Математический анализ Примеры

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (x)$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $(x + 1) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Этап 1.7

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Этап 1.9

Умножим $y$ на $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (x)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$(x + 1) y = \int \ln (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) y = \ln (x) x - \int d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$(x + 1) y = \ln (x) x - (x + C)$

Этап 5.4

Упростим.

$(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ на $x + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $(x + 1) y = \ln (x) x - x + C$ на $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\ln (x) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (x) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Этап 6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (x) x - x + C}{x + 1}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $\ln (x) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (x) - x + C}{x + 1}$