Математический анализ Примеры

$(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = y - x + x y \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x + x y \cot (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $y - x + x y \cot (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- x$ является константой относительно $y$ , производная $- x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + \frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [x y \cot (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $x \cot (x)$ является константой относительно $y$ , производная $x y \cot (x)$ по $y$ равна $x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x) \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0 + x \cot (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + x \cot (x)$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cot (x) + 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $x \cot (x) + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x \cot (x) + 1 = 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$x \cot (x) + 1 = 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $x \cot (x) + 1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{x \cot (x) + 1 - 1}{x}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{x \cot (x) + 0}{x}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $x \cot (x)$ и $0$ .

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cot (x)}{x}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $\cot (x)$ на $1$ .

$\cot (x)$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \cot (x) d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \cot (x) d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| \sin (x) |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | \sin (x) | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(y - x + x y \cot (x)) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $y - x + x y \cot (x)$ на $\sin (x)$ .

$(y - x + x y \cot (x)) \sin (x) d x + x d y = 0$

Этап 6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$(y - x + x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $x y \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим $x$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + y \frac{x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Этап 6.2.2.2

Объединим $y$ и $\frac{x \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$(y - x + \frac{y (x \cos (x))}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

$(y - x + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)}) \sin (x) d x + x d y = 0$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + \frac{y x \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) d x + x d y = 0$

Этап 6.4.2

Перепишем это выражение.

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $\sin (x)$ .

$(y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)) d x + x \sin (x) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \sin (x) d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x \sin (x)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x \sin (x) y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y + g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x \sin (x) y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \sin (x) y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x \sin (x) y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$y (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.3.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.3.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y (x \cos (x)) + y \sin (x) + \frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 11.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + x y \cos (x) + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x)$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x y \cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} + y \sin (x) = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x)$

Этап 12.1.2

Вычтем $y \sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $y \sin (x) - x \sin (x) + y x \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Изменим порядок множителей в членах $y x \cos (x)$ и $- x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + x y \cos (x) - x y \cos (x) - y \sin (x)$

Этап 12.1.3.2

Вычтем $x y \cos (x)$ из $x y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) + 0 - y \sin (x)$

Этап 12.1.3.3

Добавим $y \sin (x) - x \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y \sin (x) - x \sin (x) - y \sin (x)$

Этап 12.1.3.4

Вычтем $y \sin (x)$ из $y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Этап 12.1.3.5

Добавим $- x \sin (x)$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Этап 13

Найдем первообразную $- x \sin (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Этап 13.4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Этап 13.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Этап 13.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Этап 13.6.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Этап 13.7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Этап 13.8

Перепишем $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ в виде $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Этап 15

Упростим $f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x \sin (x) y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Этап 15.1.2

Умножим $- (- x \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Этап 15.1.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$

Этап 15.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = x \sin (x) y + x \cos (x) - \sin (x) + C$ .

$f (x, y) = x y \sin (x) + x \cos (x) - \sin (x) + C$