Математический анализ Примеры

$(- 3 x + y + 6) d x + (x + y + 2) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - 3 x + y + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 3 x + y + 6]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $- 3 x + y + 6$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- 3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Этап 1.3

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Этап 1.5

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 1 + 0$

Этап 1.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Этап 1.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x + y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y + 2]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0 + 0$

Этап 2.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Этап 2.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$1 = 1$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 3 x + y + 6 d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = - 3 x + y + 6$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int - 3 x d x + \int y d x + \int 6 d x$

Этап 5.2

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - 3 \int x d x + \int y d x + \int 6 d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x + \int 6 d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C + \int 6 d x$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C + \int 6 d x$

Этап 5.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C + 6 x + C$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = - \frac{3 x^{2}}{2} + y x + 6 x + C$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = - (\frac{3}{2} x^{2}) + y x + 6 x + C$

Этап 5.8.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y + 2$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $- \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.2.2

Поскольку $- \frac{3}{2} x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{3}{2} x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$0 + x + \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.4

Поскольку $6 x$ является константой относительно $y$ , производная $6 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + x + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y + 2$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x + 0 + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Добавим $0$ и $x$ .

$x + 0 + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

Этап 8.6.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y + 2$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y + 2$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = x + y + 2 - x$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $x + y + 2 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 2 + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $y + 2$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 2$

Этап 10

Найдем первообразную $y + 2$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = y + 2$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y + 2 d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y + 2 d y$

Этап 10.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$g (y) = \int y d y + \int 2 d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int 2 d y$

Этап 10.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + 2 y + C$

Этап 10.6

Упростим.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{2} x^{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

Этап 12.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{3 \cdot x^{2}}{2} + y x + 6 x + \frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{3 x^{2}}{2} + y x + 6 x + \frac{y^{2}}{2} + 2 y + C$