Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{y - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{x + 1}{y - 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = x + 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y - 1) d y = (x + 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 1 d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int x + 1 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x + 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int x d x + \int d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{x^{2}}{2} + x + K$

Этап 3.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $\frac{x^{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} = x + K$

Этап 3.3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x = K$

Этап 3.3.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{x^{2}}{2} - x - K = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 2 y - x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 2 y - x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 2 y$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 x - 2 K - 2 y = 0$

Этап 3.4.4

Перенесем $- 2 x$ .

$y^{2} - x^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

Этап 3.4.5

Изменим порядок $y^{2}$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 2 y = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - x^{2} - 2 K - 2 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.3

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $8 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.4

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1 + 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot (1 + x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot (1 + x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $4 (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)$ в виде $2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Единица в любой степени равна единице.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + 2 K + 2 x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{2} + K + 2 x}$