Математический анализ Примеры

$4 + x^{2} = (1 - y^{5}) \frac{d y}{d x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем части местами, чтобы получить $\frac{d y}{d x}$ слева.

$(1 - y^{5}) \frac{d y}{d x} = 4 + x^{2}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$(1 - y^{5}) d y = (4 + x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 1 - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int y^{5} d y = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2.4

По правилу степени интеграл $y^{5}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$y + C_{1} - (\frac{1}{6} y^{6} + C_{2}) = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$y - \frac{1}{6} y^{6} + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.2.6

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 + x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \int 4 d x + \int x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \int x^{2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = 4 x + \frac{1}{3} x^{3} + C_{6}$

Этап 2.3.5

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{6} y^{6} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{6} y^{6} + y = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$