Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y^{2} x^{4} - y^{2} + x^{4} - 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = (y^{2} x^{4} - y^{2}) + x^{4} - 1$

Этап 1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} (x^{4} - 1) + 1 (x^{4} - 1)$

Этап 1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x^{4} - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{4} - 1) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (y^{2} + 1)$

Этап 1.1.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

Этап 1.3.2

Развернем $(x^{2} + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Этап 1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 1)$

Этап 1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1 \cdot 1) (x - 1)$

Этап 1.3.3.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = (x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Этап 1.3.4

Развернем $(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x - 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{3 + 1} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.1.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1 \cdot x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.3

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.5

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - 1 \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.6

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.7

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.8

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.9

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.10

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.5.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Этап 1.3.6

Объединим противоположные члены в $x^{4} - x^{3} + x^{3} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $- x^{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Этап 1.3.6.2

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x^{2} + x^{2} - x + x - 1$

Этап 1.3.6.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - x + x - 1$

Этап 1.3.6.4

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - x + x - 1$

Этап 1.3.6.5

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} + 0 - 1$

Этап 1.3.6.6

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = x^{4} - 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = (x^{4} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int x^{4} - 1 d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{4} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{2} - x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{1}{5} x^{5} - x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = \frac{1}{5} x^{5} - x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\frac{1}{5} x^{5} - x + K)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$y = \tan (\frac{x^{5}}{5} - x + K)$