Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \ln (x)$ , $y (1) = 2$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Этап 1.5

Избавимся от скобок.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Этап 1.6

Перенесем $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \ln (x)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \ln (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int \ln (x) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} y = \ln (x) x - \int d x$

Этап 5.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x^{2} y = \ln (x) x - (x + C)$

Этап 5.4

Упростим.

$x^{2} y = \ln (x) x - x + C$

Этап 6

Разделим каждый член $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $x^{2} y = \ln (x) x - x + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x) x}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $\ln (x) x$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x^{2}} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \ln (x)}{x \cdot x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{x \cdot - 1}{x \cdot x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\ln (x)}{x} + \frac{- 1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 7

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$2 = \frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$

Этап 8

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$ .

$\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Этап 8.2

Упростим $\frac{\ln (1)}{1} - \frac{1}{1} + \frac{C}{1^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (1) - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Этап 8.2.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Этап 8.2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Этап 8.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1^{2}} = 2$

Этап 8.2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 + \frac{C}{1} = 2$

Этап 8.2.4.3

Разделим $C$ на $1$ .

$- 1 + C = 2$

Этап 8.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$C = 2 + 1$

Этап 8.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$C = 3$

Этап 9

Подставим $3$ вместо $C$ в $y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Подставим $3$ вместо $C$ .

$y = \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}$