Математический анализ Примеры

$x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x = y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} d y = x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ из ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} (y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ из $y {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} y) d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ из ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель ${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ из $x {(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} ({(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} x) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вынесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{1}$ имеет вид $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.6.2.3

Умножим ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4.3.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.3.1.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 4.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.2.2

Перенесем $2$ влево от ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 4.3.4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 4.3.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.6.2.3

Умножим ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$