Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.2.5.2

Упростим.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Этап 3.2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $\frac{x^{3}}{3}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Этап 3.2.2

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Этап 3.2.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Этап 3.3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $3$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{3}$ в числитель.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 5$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Этап 3.3.3

Перенесем $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Этап 3.3.4

Перенесем $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Этап 3.3.5

Изменим порядок $3 y^{2}$ и $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 3$ и $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4.2

Умножим $- 3$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.4.3

Умножим $- 15$ на $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем множитель $3$ из $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.2

Вынесем множитель $3$ из $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.3

Вынесем множитель $3$ из $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.4

Вынесем множитель $3$ из $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.6

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.1.5.7

Вынесем множитель $3$ из $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$