Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = \cos (t) - \sin (t)$ , $s (\frac{π}{2}) = 6$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = (\cos (t) - \sin (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int \cos (t) - \sin (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{1} = \int \cos (t) d t + \int - \sin (t) d t$

Этап 2.3.2

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} + \int - \sin (t) d t$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - \int \sin (t) d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$s + C_{1} = \sin (t) + C_{2} - (- \cos (t) + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$s + C_{1} = \sin (t) + \cos (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\frac{π}{2}$ вместо $t$ и $6$ вместо $s$ в $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ .

$6 = \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 6$ .

$\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K = 6$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2}) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$1 + \cos (\frac{π}{2}) + K = 6$

Этап 4.2.1.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$1 + 0 + K = 6$

Этап 4.2.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + K = 6$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$K = 6 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$K = 5$

Этап 5

Подставим $5$ вместо $K$ в $s = \sin (t) + \cos (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $5$ вместо $K$ .

$s = \sin (t) + \cos (t) + 5$